5Ein zylindrischer Behälter mit einem Radius von 5 cm ist bis zu einer Höhe von 12 cm mit Wasser gefüllt. Wenn eine Kugel mit einem Radius von 4 cm vollständig in das Wasser getaucht wird, um wie viel steigt der Wasserspiegel?

["Title: Wie steigt der Wasserspiegel in einem zylindrischen Behälter, wenn eine Kugel eingetaucht wird? – Optimal berechnet!", "Wenn ein zylindrischer Behälter mit einem Radius von 5 cm bis zu einer Höhe von 12 cm mit Wasser gefüllt ist, entsteht Raum für Füllstandänderungen, wenn eine Kugel vollständig eingetaucht wird. In diesem Artikel zeigen wir Schritt für Schritt, um wie viel der Wasserspiegel steigt, wenn eine Kugel mit einem Radius von 4 cm ins Wasser getaucht wird.", "---", "### Gegebene Daten\n- Radius des Zylinders: ( r_{cyl} = 5 , \ ext{cm} )\n- Anfangshöhe des Wassers: ( h_{initial} = 12 , \ ext{cm} )\n- Radius der eintauchenden Kugel: ( r_{kugel} = 4 , \ ext{cm} )", "---", "### Step 1: Volumen der eintauchenden Kugel berechnen\nDie Kugel hat Volumen ( V_{kugel} ) nach der Formel für das Volumen einer Kugel:\n[\nV_{kugel} = \frac{4}{3} \pi r_{kugel}^3 = \frac{4}{3} \pi (4, \ ext{cm})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3} \pi , \ ext{cm}^3\n]", "---", "### Step 2: Wie viel Wasser wird displaced?\nDa die Kugel komplett untergetaucht ist, verdrängt sie genau ein Wasservolumen, das dem Volumen der Kugel entspricht:\n[\n\Delta V = \frac{256}{3} \pi , \ ext{cm}^3\n]", "---", "### Step 3: Berechnung des Anstiegs der Wasserspiegelhöhe\nDer Zylinder verfügt über eine Fläche ( A_{cyl} ) gegeben durch:\n[\nA_{cyl} = \pi r_{cyl}^2 = \pi (5)^2 = 25\pi , \ ext{cm}^2\n]\nDer Anstieg des Wasserspiegels ( \Delta h ) ist das verdrängte Volumen geteilt durch die Querschnittsfläche des Zylinders:\n[\n\Delta h = \frac{\Delta V}{A_{cyl}} = \frac{\frac{256}{3} \pi}{25\pi} = \frac{256}{3 \cdot 25} = \frac{256}{75} \approx 3{,}41 , \ ext{cm}\n]", "---", "### Fazit\nDie Wasserspiegel steigt um genau ( \frac{256}{75} ) cm, also etwa 3,41 cm, wenn die 4 cm große Kugel vollständig im 5 cm-radialen Behälter bis 12 cm Höhe eingetaucht wird.", "---", "### Additional SEO Keywords\n- Wasserspiegelanstieg in Zylinder berechnen\n- Volumen einer Kugel berechnen\n- Eintauchen einer Kugel in Wasser Volumenverlagerung\n- Wasserspiegel erhöht sich um welchen Betrag\n- Geometrie Wasserspiegel senkung / anstieg", "---", "Dieser präzise Ansatz hilft, Lors des Entwurfs von Behältern mit eingetauchten Objekten exakte Höhenveränderungen zu planen. Verlassen Sie sich auf die Berechnung für Wasser und Formen!"]